2022.12.16

数学

バビロニアの平方根

バビロニアの平方根は、高度な数学技術を持っていた古代バビロニア人により導き出された平方根の計算方法です。「バビロニア人の方法」、「バビロニアンメソッド」とも呼ばれます。

この方法で、以下の式のaを与えてxを求めることができます。

aの平方根x

バビロニアの平方根の計算式は、

バビロンの平方根

です。

この計算式に任意のaを与えて新しいxを計算します。この計算を繰り返していき、計算後のxと計算前のxの差がなくなったときのxが求める値となります。

この式は、xとa/xの平均値を計算しています。

直観的なこの式の解釈ですが、以下の理由でxがaの平方根(√a)に近づいていくと考えられます。

xが√aの場合、a/xはa/√a=√a=xとなります。よって、xとa/x(=x)の平均値はxになります。

xが√aより小さい場合、a/xは√aより大きい値になります。(x < √a < a/x)

xが√aより大きい場合、a/xは√aより小さい値になります。(a/x < √a < x)

このように、xとa/xの間に√aの値があることがわかります。

xとa/xの平均値を新しいxとして計算するとxとa/xの差が小さくなるので、これを繰り返していくとxが√aに近づいていきます。

xの最初の値は、aの平方根に近い値が望ましいですが、0より大きい任意の値であれば計算することができます。xの最初の値がマイナスであっても計算できますが、平方根の値がマイナスになります。

Javaソースコード

0から100の平方根バビロニアの平方根の計算で求めてコンソール出力するソースコードです。また、比較のためにJavaMath.sqrtメソッドの計算も上下に並べて出力します。

BabylonianSqrt.java

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080
081
public class BabylonianSqrt {
	// aの平方根に近い整数を求める
	private static int get_x0( double a )
	{
		// aが0以下の場合、xを戻す
		if ( 0.0 >= a ) return (int)a;

		// 変数の宣言
		int x0;			// 解を格納
		double sqr0 = 0.0;	// 1つ前のiの2乗を格納

		// 無限ループを作成し、iを1から1ずつ増やす
		for ( int i = 1; ; i++ ) {
			// iの2乗の値を格納
			double sqr1 = (double)( i * i );

			// sqr1がa以上になったら
			if ( sqr1 >= a ) {
				// aに近い値整数を判定
				if ( ( sqr1 - a ) > ( a - sqr0 ) )
					x0 = i - 1;
				else
					x0 = i;

				// ループを抜ける
				break;
			}

			// 1つ前のiの2乗の値を格納
			sqr0 = sqr1;
		}

		return x0;
	}


	// バビロニア平方根
	private static double babylonian_method( double a )
	{
		// 計算が収束したとみなす値
		double eps = 0.0000000001;

		// aが0以下の場合、aを戻す
		if ( 0.0 >= a ) return a;

		// 計算の初期値を求める
		double x = (double)get_x0( a );

		// 1つ前の計算結果を保持
		double prev_x = x;

		// ループ回数の上限を100万回にする
		for ( int i = 0; i < 1000000; i++ ) {
			// 計算
			x = ( x + a / x ) / 2.0;

			// 1つ前の計算結果と差がepsより小さい場合、ループを抜ける
			if ( Math.abs( x - prev_x ) < eps ) break; 

			// 1つ前の計算結果を保持
			prev_x = x;	
		}

		// 解を戻す
		return x;
	}


	// メイン
	public static void main( String[] args ) {
		for ( int i = 0; i <= 100; i++ ) {
			// 結果出力
			System.out.println( i + "の平方根" );
			System.out.println( "バビロニア平方根:" + babylonian_method( (double)i ) );
			System.out.println( "Math.Sqrtで計算 :" + Math.sqrt( (double)i ) );

			// 改行
			System.out.println();
		}
	}
}

実行結果

実行

java BabylonianSqrt

出力結果

0の平方根
バビロニア平方根:0.0
Math.Sqrtで計算 :0.0

1の平方根
バビロニア平方根:1.0
Math.Sqrtで計算 :1.0

2の平方根
バビロニア平方根:1.414213562373095
Math.Sqrtで計算 :1.4142135623730951

3の平方根
バビロニア平方根:1.7320508075688772
Math.Sqrtで計算 :1.7320508075688772

4の平方根
バビロニア平方根:2.0
Math.Sqrtで計算 :2.0

5の平方根
バビロニア平方根:2.23606797749979
Math.Sqrtで計算 :2.23606797749979

6の平方根
バビロニア平方根:2.449489742783178
Math.Sqrtで計算 :2.449489742783178

7の平方根
バビロニア平方根:2.6457513110645907
Math.Sqrtで計算 :2.6457513110645907

8の平方根
バビロニア平方根:2.82842712474619
Math.Sqrtで計算 :2.8284271247461903

9の平方根
バビロニア平方根:3.0
Math.Sqrtで計算 :3.0

10の平方根
バビロニア平方根:3.162277660168379
Math.Sqrtで計算 :3.1622776601683795

11の平方根
バビロニア平方根:3.3166247903554
Math.Sqrtで計算 :3.3166247903554

12の平方根
バビロニア平方根:3.4641016151377544
Math.Sqrtで計算 :3.4641016151377544

13の平方根
バビロニア平方根:3.6055512754639896
Math.Sqrtで計算 :3.605551275463989

14の平方根
バビロニア平方根:3.7416573867739413
Math.Sqrtで計算 :3.7416573867739413

15の平方根
バビロニア平方根:3.872983346207417
Math.Sqrtで計算 :3.872983346207417

16の平方根
バビロニア平方根:4.0
Math.Sqrtで計算 :4.0

17の平方根
バビロニア平方根:4.123105625617661
Math.Sqrtで計算 :4.123105625617661

18の平方根
バビロニア平方根:4.242640687119286
Math.Sqrtで計算 :4.242640687119285

19の平方根
バビロニア平方根:4.358898943540673
Math.Sqrtで計算 :4.358898943540674

20の平方根
バビロニア平方根:4.47213595499958
Math.Sqrtで計算 :4.47213595499958

21の平方根
バビロニア平方根:4.58257569495584
Math.Sqrtで計算 :4.58257569495584

22の平方根
バビロニア平方根:4.69041575982343
Math.Sqrtで計算 :4.69041575982343

23の平方根
バビロニア平方根:4.795831523312719
Math.Sqrtで計算 :4.795831523312719

24の平方根
バビロニア平方根:4.898979485566356
Math.Sqrtで計算 :4.898979485566356

25の平方根
バビロニア平方根:5.0
Math.Sqrtで計算 :5.0

26の平方根
バビロニア平方根:5.0990195135927845
Math.Sqrtで計算 :5.0990195135927845

27の平方根
バビロニア平方根:5.196152422706632
Math.Sqrtで計算 :5.196152422706632

28の平方根
バビロニア平方根:5.291502622129181
Math.Sqrtで計算 :5.291502622129181

29の平方根
バビロニア平方根:5.385164807134505
Math.Sqrtで計算 :5.385164807134504

30の平方根
バビロニア平方根:5.477225575051661
Math.Sqrtで計算 :5.477225575051661

31の平方根
バビロニア平方根:5.567764362830022
Math.Sqrtで計算 :5.5677643628300215

32の平方根
バビロニア平方根:5.65685424949238
Math.Sqrtで計算 :5.656854249492381

33の平方根
バビロニア平方根:5.744562646538029
Math.Sqrtで計算 :5.744562646538029

34の平方根
バビロニア平方根:5.830951894845301
Math.Sqrtで計算 :5.830951894845301

35の平方根
バビロニア平方根:5.916079783099616
Math.Sqrtで計算 :5.916079783099616

36の平方根
バビロニア平方根:6.0
Math.Sqrtで計算 :6.0

37の平方根
バビロニア平方根:6.08276253029822
Math.Sqrtで計算 :6.082762530298219

38の平方根
バビロニア平方根:6.164414002968977
Math.Sqrtで計算 :6.164414002968976

39の平方根
バビロニア平方根:6.244997998398398
Math.Sqrtで計算 :6.244997998398398

40の平方根
バビロニア平方根:6.324555320336758
Math.Sqrtで計算 :6.324555320336759

41の平方根
バビロニア平方根:6.4031242374328485
Math.Sqrtで計算 :6.4031242374328485

42の平方根
バビロニア平方根:6.48074069840786
Math.Sqrtで計算 :6.48074069840786

43の平方根
バビロニア平方根:6.557438524302
Math.Sqrtで計算 :6.557438524302

44の平方根
バビロニア平方根:6.6332495807108
Math.Sqrtで計算 :6.6332495807108

45の平方根
バビロニア平方根:6.708203932499369
Math.Sqrtで計算 :6.708203932499369

46の平方根
バビロニア平方根:6.782329983125268
Math.Sqrtで計算 :6.782329983125268

47の平方根
バビロニア平方根:6.855654600401044
Math.Sqrtで計算 :6.855654600401044

48の平方根
バビロニア平方根:6.928203230275509
Math.Sqrtで計算 :6.928203230275509

49の平方根
バビロニア平方根:7.0
Math.Sqrtで計算 :7.0

50の平方根
バビロニア平方根:7.0710678118654755
Math.Sqrtで計算 :7.0710678118654755

51の平方根
バビロニア平方根:7.14142842854285
Math.Sqrtで計算 :7.14142842854285

52の平方根
バビロニア平方根:7.211102550927979
Math.Sqrtで計算 :7.211102550927978

53の平方根
バビロニア平方根:7.280109889280518
Math.Sqrtで計算 :7.280109889280518

54の平方根
バビロニア平方根:7.3484692283495345
Math.Sqrtで計算 :7.3484692283495345

55の平方根
バビロニア平方根:7.416198487095663
Math.Sqrtで計算 :7.416198487095663

56の平方根
バビロニア平方根:7.483314773547883
Math.Sqrtで計算 :7.483314773547883

57の平方根
バビロニア平方根:7.54983443527075
Math.Sqrtで計算 :7.54983443527075

58の平方根
バビロニア平方根:7.615773105863909
Math.Sqrtで計算 :7.615773105863909

59の平方根
バビロニア平方根:7.681145747868609
Math.Sqrtで計算 :7.681145747868608

60の平方根
バビロニア平方根:7.745966692414834
Math.Sqrtで計算 :7.745966692414834

61の平方根
バビロニア平方根:7.810249675906654
Math.Sqrtで計算 :7.810249675906654

62の平方根
バビロニア平方根:7.874007874011811
Math.Sqrtで計算 :7.874007874011811

63の平方根
バビロニア平方根:7.937253933193771
Math.Sqrtで計算 :7.937253933193772

64の平方根
バビロニア平方根:8.0
Math.Sqrtで計算 :8.0

65の平方根
バビロニア平方根:8.06225774829855
Math.Sqrtで計算 :8.06225774829855

66の平方根
バビロニア平方根:8.12403840463596
Math.Sqrtで計算 :8.12403840463596

67の平方根
バビロニア平方根:8.18535277187245
Math.Sqrtで計算 :8.18535277187245

68の平方根
バビロニア平方根:8.246211251235321
Math.Sqrtで計算 :8.246211251235321

69の平方根
バビロニア平方根:8.306623862918075
Math.Sqrtで計算 :8.306623862918075

70の平方根
バビロニア平方根:8.366600265340756
Math.Sqrtで計算 :8.366600265340756

71の平方根
バビロニア平方根:8.426149773176359
Math.Sqrtで計算 :8.426149773176359

72の平方根
バビロニア平方根:8.485281374238571
Math.Sqrtで計算 :8.48528137423857

73の平方根
バビロニア平方根:8.544003745317532
Math.Sqrtで計算 :8.54400374531753

74の平方根
バビロニア平方根:8.602325267042627
Math.Sqrtで計算 :8.602325267042627

75の平方根
バビロニア平方根:8.660254037844386
Math.Sqrtで計算 :8.660254037844387

76の平方根
バビロニア平方根:8.717797887081346
Math.Sqrtで計算 :8.717797887081348

77の平方根
バビロニア平方根:8.77496438739212
Math.Sqrtで計算 :8.774964387392123

78の平方根
バビロニア平方根:8.831760866327848
Math.Sqrtで計算 :8.831760866327848

79の平方根
バビロニア平方根:8.888194417315589
Math.Sqrtで計算 :8.888194417315589

80の平方根
バビロニア平方根:8.94427190999916
Math.Sqrtで計算 :8.94427190999916

81の平方根
バビロニア平方根:9.0
Math.Sqrtで計算 :9.0

82の平方根
バビロニア平方根:9.055385138137417
Math.Sqrtで計算 :9.055385138137417

83の平方根
バビロニア平方根:9.1104335791443
Math.Sqrtで計算 :9.1104335791443

84の平方根
バビロニア平方根:9.16515138991168
Math.Sqrtで計算 :9.16515138991168

85の平方根
バビロニア平方根:9.219544457292887
Math.Sqrtで計算 :9.219544457292887

86の平方根
バビロニア平方根:9.273618495495704
Math.Sqrtで計算 :9.273618495495704

87の平方根
バビロニア平方根:9.327379053088816
Math.Sqrtで計算 :9.327379053088816

88の平方根
バビロニア平方根:9.38083151964686
Math.Sqrtで計算 :9.38083151964686

89の平方根
バビロニア平方根:9.433981132056605
Math.Sqrtで計算 :9.433981132056603

90の平方根
バビロニア平方根:9.486832980505138
Math.Sqrtで計算 :9.486832980505138

91の平方根
バビロニア平方根:9.539392014169456
Math.Sqrtで計算 :9.539392014169456

92の平方根
バビロニア平方根:9.591663046625438
Math.Sqrtで計算 :9.591663046625438

93の平方根
バビロニア平方根:9.643650760992955
Math.Sqrtで計算 :9.643650760992955

94の平方根
バビロニア平方根:9.695359714832659
Math.Sqrtで計算 :9.695359714832659

95の平方根
バビロニア平方根:9.746794344808965
Math.Sqrtで計算 :9.746794344808963

96の平方根
バビロニア平方根:9.797958971132712
Math.Sqrtで計算 :9.797958971132712

97の平方根
バビロニア平方根:9.848857801796104
Math.Sqrtで計算 :9.848857801796104

98の平方根
バビロニア平方根:9.899494936611665
Math.Sqrtで計算 :9.899494936611665

99の平方根
バビロニア平方根:9.9498743710662
Math.Sqrtで計算 :9.9498743710662

100の平方根
バビロニア平方根:10.0
Math.Sqrtで計算 :10.0

バビロニアンの平方根で計算した値は、JavaMath.sqrtとほぼ同じになりました。

Javaソースコードの解説

001
public class BabylonianSqrt {

クラス名を、BabylonianSqrtとしています。

002
003
	// aの平方根に近い整数を求める
	private static int get_x0( double a )

引数aの平方根に近い整数値を求めるメソッドget_x0を作成しています。

005
006
		// aが0以下の場合、xを戻す
		if ( 0.0 >= a ) return (int)a;

変数aの値が0.0以下の場合、aの値をint型に変換した値を戻しています。

このメソッド戻り値が、0以下の場合、エラーと考えてよいです。

008
009
010
		// 変数の宣言
		int x0;			// 解を格納
		double sqr0 = 0.0;	// 1つ前のiの2乗を格納

このメソッドで使う変数を宣言しています。

int型変数x0は、aの平方根に近いを整数値を格納する変数です。double型のsqr0は、1つ前のiの2乗を格納する変数です。sqr0がdouble型なのは、double型引数aとの計算処理を行うためです。

012
013
		// 無限ループを作成し、iを1から1ずつ増やす
		for ( int i = 1; ; i++ ) {

変数iを1から1つずつ増やしていくループfor文で作成しています。継続条件式を記述していないので無限ループになります。

014
015
			// iの2乗の値を格納
			double sqr1 = (double)( i * i );

変数i2乗した値をdouble型変数sqr1に代入しています。( i * i )はint型なので(double)で型キャストしています。

017
018
			// sqr1がa以上になったら
			if ( sqr1 >= a ) {

変数sqr1の値が引数aの値以上の場合、aに近い値の判定処理に移行します。

019
020
021
022
023
				// aに近い値整数を判定
				if ( ( sqr1 - a ) > ( a - sqr0 ) )
					x0 = i - 1;
				else
					x0 = i;

この処理の時点での変数aの値は、sqr0以上、sqr1以下です。(sqr0≦a≦sqr1)

( sqr1 - a )が( a - sqr0 )より大きければ、sqr0の方がaに近いのでsqr0の元の値( i - 1 )をx0に代入しています。

sqr1の方がaに近い場合は、sqr1の元の値iをx0に代入しています。

025
026
				// ループを抜ける
				break;

break文無限ループを抜けています。

029
030
			// 1つ前のiの2乗の値を格納
			sqr0 = sqr1;

sqr1の値を1つ目のiの2乗を格納しているsqr0に代入しています。

033
		return x0;

ループを抜けた際のx0をaの平方根に近い値としてreturn文で戻しています。

037
038
039
	// バビロニア平方根
	private static double babylonian_method( double a )
	{

引数aの平方根を求めるメソッドbabylonian_methodを作成しています。

040
041
		// 計算が収束したとみなす値
		double eps = 0.0000000001;

処理を終了させるための計算値の差を格納するdouble型変数epsを宣言し、値を代入しています。この値は任意です。

043
044
		// aが0以下の場合、aを戻す
		if ( 0.0 >= a ) return a;

変数aの値が0.0以下の場合、aの値をint型に変換した値を戻しています。

このメソッド戻り値が、0未満の場合、エラーと考えてよいです。a=0.0の平方根は0.0なのでエラーではないです。

046
047
		// 計算の初期値を求める
		double x = (double)get_x0( a );

get_x0メソッド変数aの平方根に近い整数値を取得し、double型キャストして変数xに代入しています。

049
050
		// 1つ前の計算結果を保持
		double prev_x = x;

1つ目まえの計算結果を格納するdouble型変数prev_xにxを代入しています。

052
053
		// ループ回数の上限を100万回にする
		for ( int i = 0; i < 1000000; i++ ) {

処理を100万回実行するループを作成しています。実質の無限ループです。念のため、計算結果が収束しないことを想定してループ回数の上限を決めています。ここは、無限ループでも良いです。

054
055
			// 計算
			x = ( x + a / x ) / 2.0;

バビロニアンの平方根を計算する式を変数aと変数xを使って計算し、計算結果を変数xに代入しています。

057
058
			// 1つ前の計算結果と差がepsより小さい場合、ループを抜ける
			if ( Math.abs( x - prev_x ) < eps ) break; 

直前で計算した値xと1つ前の計算結果prev_xの差の絶対値が収束したとみなす値epsより小さければbreak文for文を抜けています。

060
061
			// 1つ前の計算結果を保持
			prev_x = x;	

直前で計算した値xを1つ前の計算結果prev_xに代入しています。

064
065
		// 解を戻す
		return x;

for文を抜けた際の変数xをreturn文で戻しています。

069
070
	// メイン
	public static void main( String[] args ) {

このmainメソッドからプログラムを実行します。

071
		for ( int i = 0; i <= 100; i++ ) {

for文で、変数iを0~100まで1ずつ変化させるループを作成しています。

072
073
			// 結果出力
			System.out.println( i + "の平方根" );

平方根を計算する値iをコンソール出力しています。

074
			System.out.println( "バビロニア平方根:" + babylonian_method( (double)i ) );

バビロニア平方根を計算するメソッドbabylonian_methodにdouble型キャスト変数i引数として渡して、結果をコンソール出力しています。

075
			System.out.println( "Math.Sqrtで計算 :" + Math.sqrt( (double)i ) );

JavaMathクラスのsqrtメソッドを使って計算した平方根の値をコンソール出力しています。

Math.sqrtメソッド

public static double Math.sqrt( double a )
・引数aで指定した数値の平方根を返します。

  パラメータ a : 平方根を求める数値

  戻り値     aの平方根
077
078
			// 改行
			System.out.println();

次の計算結果の出力との間隔をあけるために、改行コンソール出力しています。

ニュートン法と計算式が一致

バビロニアの平方根の式は、「ニュートン法」で平方根を求める式と一致します。以下がその式です。

ニュートン法による平方根の計算式

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