数学

正三角形の面積計算

1辺の長さaの正三角形面積を求める公式があります。その計算式は以下の通りです。

1辺の長さaの正三角形の面積

ここから、正三角形面積計算の公式を導いていきたいと思います。1辺の長さaと面積の関係がより深く理解できます。

それでは説明していきます。

一般的な三角形の面積計算は、以下の式で計算できます。

 三角形の面積=(底辺×高さ)÷2

1辺の長さがaの正三角形の場合は、底辺はaとなりますが、高さhは計算で求める必要があります。

1辺の長さaの正三角形の面積2

それでは、高さhを計算で求める方法を説明します。

1つめの方法は、ピタゴラスの定理を使って高さh求める方法です。

これは、正三角形を以下の図のように2つに分割してできる直角三角形の各辺の長さをピタゴラスの定理に当てはめるものです。

1辺の長さaの正三角形の面積2

斜辺の長さはaで、その他の辺の長さはhと(a/2)です。これをピタゴラスの定理に当てはめると

正三角形の高さをピタゴラスの定理で計算する式

となります。

これを高さhが左辺になるように式に変形すると

正三角形の高さをピタゴラスの定理で計算する式2

となります。

右辺を計算して式を簡単にしていくと、以下の結果は得られます。

正三角形の高さをピタゴラスの定理で計算する式3

これが、正三角形の1辺の長さと高さの関係式です。

ここで求めた高さhを使って三角形の面積Tを求めると

正三角形の高さをピタゴラスの定理で計算する式4

という式が得られます。この式は、冒頭に記載している面積計算の公式と一致しています。

次に、2つ目の方法を説明します。この方法は三角関数を使って高さhを求める方法です。

正三角形内角は60°であり、斜辺の長さがaなので、三角形sinθを利用することで高さを求めることができます。sin60°は√3/2なので、高さh=a×sin60°で計算することができます。

正三角形の高さを三角関数で計算 正三角形の高さを三角関数で計算する式

ここで求めた高さhは、ピタゴラスの定理を使って求めたhと同じになりました。

以上です。

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1つの辺の長さから正三角形の面積を求める式の導き方を説明しています。興味のある方は、記事をご覧ください。

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