2023/11/06

数学

白金長方形 1:√2

白金比 1:√2の導き方

白銀比(はくぎんひ) 1:√2は、

	1 : √2 = 1.41421356…

です。A判B判紙の寸法に使われています。

また、「白銀比」は「大和比(やまとひ)」とも呼ばれ、日本では昔からなじみのある比率で、日本の建築物などでもよく見られる比率です。

ここでは、長方形の辺を分割する比率を使って白金比を計算する方法を説明しています。

長辺を2等分して作られる長方形が、分割前の長方形と相似になる長方形の短辺と長辺の比率が白銀比です。

まず、以下のような幅2x、高さ1の長方形を考えます。

辺の長さが1対2xの長方形

この長方形の2xの辺を等分割して2つの同じ大きさの長方形を作ります。2つの長方形の幅はx、高さ1になります。

長方形を正方形と長方形に分割

長方形の1つを90度回転します。

分割した長方形を90度回転

分割前の長方形と、回転した長方形の長さの比率が同じであれば以下の式が成り立ちます。

長方形の辺の比率を一致させる式

この式からxを求める式は以下のとおりです。

白金比を求める2次方程式の解

2つの解のうち、xが+(プラス)の方を選びます。

白金比

このxを元の長方形に代入すると、短辺の長さが1で、長辺の長さが2x = √2 = 1.41421356…となります。

白金比 1:√2

短辺の長さ : 長辺の長さ = 1 : √2 = 1 : 1.41421356…

以上です。

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