2019.05.22
ニュートン法で平方根
はじめに
関数をf(x)=x2-aとし、f(x)=0となるxを求めることで、aの平方根を計算します。
この式は、以下の手順で導いています。
Javaソースコード
NewtonsMethod1.java
001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065
public class NewtonsMethod1 { // f(x)=x^2-a static double f( double x, double a ) { return x * x - a; } // f(x)の微分f'(x) - 接線の傾き static double df( double x ) { return 2 * x; } // ニュートン法 漸化式 static double newtons( double x, double a ) { return x - f( x, a ) / df( x ); } // メイン public static void main(String[] args) { // 変数の宣言 double e = 0.000001; // 収束の判定値 double x; // 計算値を格納 double x_ans; // １つ前の計算値 double a; // 平行根を求める値 // 平行根を求める値 a = 169.0; // 13×13 // 初期値を代入 x_ans = 10000.0; // 無限ループ for ( int i = 1; ; ++ i ) { // ニュートン法で計算 x = newtons( x_ans, a ); // 収束の判定 if ( e > Math.abs( x - x_ans ) ) break; // 最新の計算結果を次の計算結果に代入 x_ans = x; // 途中経過の表示 System.out.println( "回数:" + i + " 計算結果: " + x_ans ); } // 改行 System.out.println(); // 結果の表示 System.out.println( "計算結果: " + x_ans ); // 結果の絶対値 x_ans = Math.abs( x_ans ); System.out.println( a + "の絶対値: " + x_ans ); // f(x)=0になるかを確認 System.out.println( "f(" + x_ans + ")=" + f( x_ans, a ) ); } }
コンパイル ソースコードが「ANSI」の場合
C:\talavax\javasample>javac -encoding sjis NewtonsMethod1.java
コンパイル ソースコードが「UTF-8」の場合
C:\talavax\javasample>javac NewtonsMethod1.java
実行
C:\talavax\javasample>java NewtonsMethod1
出力結果
回数:1 計算結果: 5000.00845 回数:2 計算結果: 2500.021124971439 回数:3 計算結果: 1250.0443622001121 回数:4 計算結果: 625.0897787010334 回数:5 計算結果: 312.6800699323774 回数:6 計算結果: 156.61027924500786 回数:7 計算結果: 78.84469552143572 回数:8 計算結果: 40.494074900269396 回数:9 計算結果: 22.33376248850415 回数:10 計算結果: 14.950390630254306 回数:11 計算結果: 13.127221545732919 回数:12 計算結果: 13.00061647933808 回数:13 計算結果: 13.00000001461649 計算結果: 13.00000001461649 169.0の絶対値: 13.00000001461649 f(13.00000001461649)=3.8002872315701097E-7
Javaソースコードの解説
001
public class NewtonsMethod1 {
002 003 004 005 006
// f(x)=x^2-a static double f( double x, double a ) { return x * x - a; }
009 010 011 012 013
// f(x)の微分f'(x) - 接線の傾き static double df( double x ) { return 2 * x; }
f(x)の微分式f'(x)を記述しています。f(x)=x2-aなので、f'(x)=2xになります。
016 017 018 019 020
// ニュートン法 漸化式 static double newtons( double x, double a ) { return x - f( x, a ) / df( x ); }
023 024
// メイン public static void main(String[] args) {
このmainメソッドからプログラムを実行します。
025 026 027 028 029
// 変数の宣言 double e = 0.000001; // 収束の判定値 double x; // 計算値を格納 double x_ans; // １つ前の計算値 double a; // 平行根を求める値
031 032
// 平行根を求める値 a = 169.0; // 13×13
034 035
// 初期値を代入
x_ans = 10000.0;
計算の初期値に10000.0を代入しています。この値は任意です。
037 038
// 無限ループ for ( int i = 1; ; ++ i ) {
039 040
// ニュートン法で計算
x = newtons( x_ans, a );
ニュートン法の漸化式にx_ansとaを渡して、次のxの値を取得しています。
042 043
// 収束の判定
if ( e > Math.abs( x - x_ans ) ) break;
045 046
// 最新の計算結果を次の計算結果に代入
x_ans = x;
x_ansにxを代入しています。
052 053 054 055 056
// 改行 System.out.println(); // 結果の表示 System.out.println( "計算結果: " + x_ans );
058 059 060
// 結果の絶対値 x_ans = Math.abs( x_ans ); System.out.println( a + "の絶対値: " + x_ans );
計算結果x_ansの絶対値をとった値をコンソールに出力しています。これが、実際に求めたい平方根の値になります。このプログラムの場合、f(x)=x2-169.0を0.0にするxを求めるようにしてるため、xの値が13.0と-13.0の２つの値のどちらでもf(x)=0を満たすことが出来ます。これは初期値によりプラスとマイナスのどちらかの値をとります。例えば初期値を-10000.0にするとx_ans=-13になります。
062 063
// f(x)=0になるかを確認 System.out.println( "f(" + x_ans + ")=" + f( x_ans, a ) );
計算結果x_ansをメソッドfに代入して、その結果が0になっているか確認するための出力です。この例では、結果の表示が指数表記になっていて、数値の後に'E-7'が付いています。これは10の-7乗を意味しています。この結果から求めたx_ansでメソッドfが戻す値は0に近く、x_ansはaの平方根であることが確認できます。
以上です。
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