2020/12/22 公開
・格子座標から円周率πを計算
ここでは、単位円を外接する正方形を格子状に区切り、格子全体の座標数と、円の中に入っている座標の比率を利用して円周率πを求める方法を紹介します。
単位円の中心座標を(0,0)とすると、外接する正方形の左上の座標は(-1,1)、右下の座標は(1,-1)です。
x軸とy軸をそれぞれ等分割し格子を作成します。下の例は、xとyを８分割し、１列に９個の座標を配置したものです。
この正方形の１辺の長さは2で、面積は4(=2x2)です。単位円の面積はπ(=1x1xπ)です。
よって、以下の比が成り立ちます。
外接正方形の面積 : 格子全体の座標数 = 単位円の面積 : 円内の格子座標数
単位円の面積＝外接正方形の面積×（円内の格子座標数÷格子全体の座標数）
となります。
この式は、格子の数が多ければ大きいほど円周率πに近づきます。
下図の例は、格子の座標数が全部で81で、円周率πの計算結果は2.42となりました。格子の座標数が少ないので精度が悪いです。円周率3.14には程遠いです。
それでは、格子を使った円周率πを求めるプログラムを見ていきましょう。
以下は、Javaソースコードです。x軸とy軸を20000分割して計算しています。
GridPI.java ← クリックしてダウンロードページに移動
001: public class GridPI {
002: public static void main( String[] args ) {
003: // 変数の宣言
004: int cellnum;
005: int x, y;
006: double in_num;
007: double left, right;
008: double top, bottom;
009: double celllen;
010: double cellx, celly;
011: double l2;
012:
013: // 単位円に外接する正方形の左上と右下の座標を代入
014: // 左上の座標
015: left = -1.0;
016: top = 1.0;
017:
018: // 右下の座標
019: right = 1.0;
020: bottom = -1.0;
021:
022: // １辺の格子の数
023: cellnum = 20000;
024:
025: // セルの幅を計算(x軸だけで計算)
026: celllen = ( right - left ) / (double)( cellnum - 1 );
027:
028: // 円周率πの計算のメイン
029: // 円内の座標の個数を初期化
030: in_num = 0.0;
031:
032: // 格子のy座標の初期値
033: celly = top;
034: for ( y = 0; y < cellnum; y++ ) {
035: // 格子のx座標の初期値
036: cellx = left;
037: for ( x = 0; x < cellnum; x++ ) {
038: // 単位円の中心座標(0,0)と
039: //セルの直線距離の２乗を計算
040: l2 = cellx * cellx + celly * celly;
041:
042: // 単位円の中かを判定
043: if ( 1.0 >= l2 ) {
044: // 単位円の中と判定
045: // 単位円の線上も中と判定
046: ++ in_num;
047: }
048: // 格子のx座標にセルの幅を足す
049: cellx += celllen;
050: }
051: // 格子のy座標からセルの幅を引く
052: celly -= celllen;
053: }
054:
055: // 外接正方形の面積を計算(計算結果は4.0)
056: double sq_area = ( right - left ) * ( top - bottom );
057:
058: // 格子全体の座標数
059: double all_num = (double)cellnum * (double)cellnum;
060:
061: // 円周率πを計算
062: double pi = sq_area * in_num / all_num;
063:
064: // 結果を出力
065: System.out.println( pi );
066: }
067: }
GridPIを実行
C:\talavax\javasample>java GridPI
GridPI.javaの出力結果
3.14127716
３．１４１５９２６５３５８９７９３２３８４６２・・・
です。分割数20000でも小数点以下第３桁までしか一致しません。この方法は、精度は悪く実用的ではないです。
001: public class GridPI {
クラス名を、GridPIとしています。
002: public static void main( String[] args ) {
このmainメソッドからプログラムを実行します。
003: // 変数の宣言 004: int cellnum; 005: int x, y; 006: double in_num; 007: double left, right; 008: double top, bottom; 009: double celllen; 010: double cellx, celly; 011: double l2;
このプログラムで使う変数を宣言しています。
013: // 単位円に外接する正方形の左上と右下の座標を代入 014: // 左上の座標 015: left = -1.0; 016: top = 1.0;
018: // 右下の座標 019: right = 1.0; 020: bottom = -1.0;
022: // １辺の格子の数 023: cellnum = 20000;
x軸とy軸の格子の数を格納する変数cellnumに20000を代入しています。
025: // セルの幅を計算(x軸だけで計算) 026: celllen = ( right - left ) / (double)( cellnum - 1 );
正方形のx軸方向の長さを格子の数から１を引いた値( cellnum - 1 )で割って格子の間隔を計算し、変数celllenに代入しています。
028: // 円周率πの計算のメイン 029: // 円内の座標の個数を初期化 030: in_num = 0.0;
ここから円周率πの計算です。円の内側の個数の初期値に0を代入しています。
032: // 格子のy座標の初期値
033: celly = top;
034: for ( y = 0; y < cellnum; y++ ) {
035: // 格子のx座標の初期値
036: cellx = left;
037: for ( x = 0; x < cellnum; x++ ) {
for文で正方形に含まれる全ての格子座標(cellx,celly)を求めています。
038: // 単位円の中心座標(0,0)と
039: //セルの直線距離の２乗を計算
040: l2 = cellx * cellx + celly * celly;
041:
042: // 単位円の中かを判定
043: if ( 1.0 >= l2 ) {
044: // 単位円の中と判定
045: // 単位円の線上も中と判定
046: ++ in_num;
047: }
単位円の中心座標(0,0)と(cellx,celly)の直線距離の２乗を計算した値を変数l2に代入し、その値が単位円の半径の２乗(1.0=1.0x1.0)以下の場合に円の中に入っていると判定し、変数in_numに１を足しています。
048: // 格子のx座標にセルの幅を足す 049: cellx += celllen; 050: } 051: // 格子のy座標からセルの幅を引く 052: celly -= celllen;
変数xのfor文でcellxにcelllenを足しています。変数yのfor文でcellyからcelllenを引いています。これで左上から右下の順番で格子座標(cellx,celly)を求めています。
055: // 外接正方形の面積を計算(計算結果は4.0) 056: double sq_area = ( right - left ) * ( top - bottom );
単位円に外接する正方形の面積を計算した結果を変数sq_areaに代入しています。
058: // 格子全体の座標数 059: double all_num = (double)cellnum * (double)cellnum;
格子全ての座標数を計算した結果を変数all_numに代入しています。
061: // 円周率πを計算 062: double pi = sq_area * in_num / all_num;
064: // 結果を出力 065: System.out.println( pi );
以上です。
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