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2021/07/07 公開

・和の公式 その2

1+2+3+ … +nを計算する公式は、

和の公式

です。nを公式に代入すると結果が得られます。

例えばn=5の場合、5÷2×(5+1)=15になります。

それでは、この公式を導いていきましょう。

まず、以下の図を見てください。面積1の青色の正方形を並べています。n=5とn=6の場合の和を計算する並べ方です。

面積を利用した和の公式の導き方

このように並べた全ての青色の正方形面積合計値が1から5の和、1から6の和となります。

次に、面積を計算する式を作っていきます。

並べた正方形の左下から右上に直線を引いたときに(下図)、線の下に1つの三角形(下図のオレンジ色の部分)と、線の上にn個の三角形(下図の赤色の部分)が作られます。これら三角形の面積はnを使った式で表すことができます。

1から9の和

オレンジ色の部分は、底辺の長さnで高さがnの三角形なので、(底辺×高さ÷2)=n×n÷2で面積を計算することができます。赤色の部分の三角形は、面積1の正方形を半分にしたものなので面積は1/2です。この赤色の三角形はn個あるので、赤色の三角形の面積合計は、(1/2×n)→n/2となります。

このオレンジと赤色の三角形の面積合計が、全ての正方形面積です。式で書くと以下のようになります。

面積で計算した1からNの和の公式

面積を利用して計算した式が、和の公式と同じになりました。

以上です。

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