2021/07/03 公開

・和の公式

１＋２＋３＋ … ＋ｎを計算する公式は、

です。ｎを公式に代入すると結果が得られます。

例えばｎ＝１０の場合、１０÷２×（１０＋１）＝５×１１＝５５になります。

それでは、この公式を導いていきましょう。

まず、以下の図を見てください。最初の数字１と最後の数字１０のペアを作り、そこから内側の数字でペアを作っていきます。

作ったペア数は５で、各ペアの和は全部同じで１１です。

したがって、１から１０の和は、ペアの数×ペアの和＝５×１１＝５５となります。

これをｎを使って表すと、１からｎ和はペアの数×ペアの和＝（ｎ÷２）×（ｎ＋１）となり、公式と同じ計算式になりました。ペアの数はｎを２で割って求めています。

ここでｎが奇数の場合を考えます。ｎが奇数の場合は、真ん中の数字はペアを作ることができずに余ります。ｎ＝９の場合は、５が余ります。

そこで、ｎが奇数の場合には（ｎ＋１）を加えてペアを作り、ペアの数×ペアの和を計算します。その結果から（ｎ＋１）を引くと正しい結果が得られます。

以下の図は、ｎ＝９の和を計算するために（ｎ＋１）＝１０を加えてペアを作ったものです。

１から１０の和は、ペアの数×ペアの和＝５×１１＝５５となり、そこから加えた数字１０を引くと５５－１０＝４５となります。１から９の和である４５が計算できました。

次に、この考え方でｎの公式を作っていきます。

ｎが偶数の場合、以下の式で１からｎの和を求めることができます。これはペアを作って計算する方法で確認しました。

ｎが奇数の場合、ｎに１を加えた値（ｎ＋１）で和の計算を行い、その値から（ｎ＋１）を引くことで和の値を計算します。以下がその式です。

この式を計算していきます。

計算した結果、ｎが偶数の場合と同じ計算式になりました。

ｎが偶数、奇数のどちらの場合でも以下の計算式で計算できることが確認できました。

以上です。

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