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2021/07/03 公開

・和の公式

1+2+3+ … +nを計算する公式は、

和の公式

です。nを公式に代入すると結果が得られます。

例えばn=10の場合、10÷2×(10+1)=5×11=55になります。

それでは、この公式を導いていきましょう。

まず、以下の図を見てください。最初の数字1と最後の数字10のペアを作り、そこから内側の数字でペアを作っていきます。

1から10の和

作ったペア数は5で、各ペアの和は全部同じで11です。

したがって、1から10の和は、ペアの数×ペアの和=5×11=55となります。

これをnを使って表すと、1からn和はペアの数×ペアの和=(n÷2)×(n+1)となり、公式と同じ計算式になりました。ペアの数はnを2で割って求めています。

ここでnが奇数の場合を考えます。nが奇数の場合は、真ん中の数字はペアを作ることができずに余ります。n=9の場合は、5が余ります。

1から9の和

そこで、nが奇数の場合には(n+1)を加えてペアを作り、ペアの数×ペアの和を計算します。その結果から(n+1)を引くと正しい結果が得られます。

以下の図は、n=9の和を計算するために(n+1)=10を加えてペアを作ったものです。

1から9の和の計算方法

1から10の和は、ペアの数×ペアの和=5×11=55となり、そこから加えた数字10を引くと55-10=45となります。1から9の和である45が計算できました。

次に、この考え方でnの公式を作っていきます。

nが偶数の場合、以下の式で1からnの和を求めることができます。これはペアを作って計算する方法で確認しました。

和の公式

nが奇数の場合、nに1を加えた値(n+1)で和の計算を行い、その値から(n+1)を引くことで和の値を計算します。以下がその式です。

nが奇数の和の式

この式を計算していきます。

nが奇数の和の式

計算した結果、nが偶数の場合と同じ計算式になりました。

nが偶数奇数のどちらの場合でも以下の計算式で計算できることが確認できました。

和の公式

以上です。

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