2022.07.22
和の公式
はじめに
１＋２＋３＋ … ＋ｎを計算する公式は、
です。ｎを公式に代入すると結果が得られます。
例えばｎ＝１０の場合、１０÷２×（１０＋１）＝５×１１＝５５になります。
和の公式の導き方
それでは、この公式を導いていきましょう。
まず、以下の図を見てください。最初の数字１と最後の数字１０のペアを作り、そこから内側の数字でペアを作っていきます。
作ったペア数は５で、各ペアの和は全部同じで１１です。
したがって、１から１０の和は、ペアの数×ペアの和＝５×１１＝５５となります。
これをｎを使って表すと、１からｎ和はペアの数×ペアの和＝（ｎ÷２）×（ｎ＋１）となり、公式と同じ計算式になりました。ペアの数はｎを２で割って求めています。
そこで、ｎが奇数の場合には（ｎ＋１）を加えてペアを作り、ペアの数×ペアの和を計算します。その結果から（ｎ＋１）を引くと正しい結果が得られます。
以下の図は、ｎ＝９の和を計算するために（ｎ＋１）＝１０を加えてペアを作ったものです。
１から１０の和は、ペアの数×ペアの和＝５×１１＝５５となり、そこから加えた数字１０を引くと５５－１０＝４５となります。１から９の和である４５が計算できました。
次に、この考え方でｎの公式を作っていきます。
ｎが偶数の場合、以下の式で１からｎの和を求めることができます。これはペアを作って計算する方法で確認しました。
ｎが奇数の場合、ｎに１を加えた値（ｎ＋１）で和の計算を行い、その値から（ｎ＋１）を引くことで和の値を計算します。以下がその式です。
この式を計算していきます。
以上です。
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