2019.07.29

整数の累乗

累乗とは

累乗は、同じ数を何回か掛け合わせることです。

ここで作成するメソッドは、掛ける元の数(基数)と掛ける回数(指数)を指定することで累乗を得るものです。

基数をa、指数をnとすると、

累乗=an

です。

例えばa=3でn=5であれば、

累乗=35=3×3×3×3×3=243

となります。これは3を5回掛け合わせる計算を意味しています。

それでは、整数累乗を計算するプログラムを2つ紹介します。

Javaソースコード - for文で繰り返し掛け算を行う

整数累乗を計算を行うメソッドを含むJavaソースコード例の1つ目です。

このソースは、累乗のルール通りに、aの値をn回掛けて結果を得るものです。

Power1.java

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public class Power1 {
	// aのn乗を戻すメソッド
	static int power( int a, int n )
	{
		// 結果の初期値
		int result = 1;

		// nが1の場合に計算
		if ( 1 <= n ) {
			// aをn回掛ける
			for ( int i = 0; i < n; ++ i ) {
				result = result * a;
			}
		}

		// 結果を戻す
		return result;
	}


	// メイン
	public static void main( String[] args ) {
		// 変数の宣言
		int a, n;
		int ans;

		// べき乗の計算
		a = 5;
		n = 7;
		ans = power( a, n );

		// 結果表示
		System.out.println( a + "の" + n + "乗は、" + ans );
	}
}

コンパイル ソースコードが「ANSI」の場合

C:\talavax\javasample>javac -encoding sjis Power1.java

コンパイル ソースコードが「UTF-8」の場合

C:\talavax\javasample>javac Power1.java

実行

C:\talavax\javasample>java Power1

実行結果

5の7乗は、78125

以下が、作成した整数累乗を計算するメソッドの部分です。

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	// aのn乗を戻すメソッド
	static int power( int a, int n )
	{
		// 結果の初期値
		int result = 1;

		// nが1の場合に計算
		if ( 1 <= n ) {
			// aをn回掛ける
			for ( int i = 0; i < n; ++ i ) {
				result = result * a;
			}
		}

		// 結果を戻す
		return result;
	}

これは、整数累乗を計算するpowerメソッドで、aとnを渡すことでanを計算して戻します。

for文を使って、aをn回掛けています。

nが0以下の値のとき、1を戻すようにしています。

Javaソースコード - 再帰

以下は、整数累乗を計算を行うメソッドを含むJavaソースコード例の2つ目です。

Power2.java

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public class Power2 {
	// aのn乗を戻すメソッド
	static int power( int a, int n )
	{
		// 結果の初期化
		int result;

		// nが0以下の場合、1を戻す
		if ( 0 >= n )
			result = 1;
		else {
			// nが1場の場合
			switch ( n ) {
				case 1:
					// n=1の場合、aを戻す
					result = a;
					break;
				case 2:
					// n=2の場合、a*aを戻す
					result = a * a;
					break;

				default:
					int pow = power( a, n / 2 );
					result = pow * pow;
	
					// nが奇数の場合
					if ( 1 == ( n % 2 ) ) {
						result *= a;
					}
					break;
			}
		}

		return result;
	}


	// メイン
	public static void main( String[] args ) {
		// 変数の宣言
		int a, n;
		int ans;

		// べき乗の計算
		a = 5;
		n = 7;
		ans = power( a, n );

		// 結果表示
		System.out.println( a + "の" + n + "乗は、" + ans );
	}
}

コンパイル ソースコードが「ANSI」の場合

C:\talavax\javasample>javac -encoding sjis Power2.java

コンパイル ソースコードが「UTF-8」の場合

C:\talavax\javasample>javac Power2.java

実行

C:\talavax\javasample>java Power2

出力結果

5の7乗は、78125
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	// aのn乗を戻すメソッド
	static int power( int a, int n )
	{
		// 結果の初期化
		int result;

		// nが0以下の場合、1を戻す
		if ( 0 >= n )
			result = 1;
		else {
			// nが1場の場合
			switch ( n ) {
				case 1:
					// n=1の場合、aを戻す
					result = a;
					break;
				case 2:
					// n=2の場合、a*aを戻す
					result = a * a;
					break;

				default:
					int pow = power( a, n / 2 );
					result = pow * pow;
	
					// nが奇数の場合
					if ( 1 == ( n % 2 ) ) {
						result *= a;
					}
					break;
			}
		}

		return result;
	}

これは、整数累乗を計算するpowerメソッドで、aとnを渡すことでanを計算して戻します。

nが0以下の値のとき、1を戻すようにしています。

Power1.javaとの違いは、再帰を使って掛け算の回数を減らしていることです。掛け算の回数を減らすことで結果を得るまでの時間を短くすることができます。

例えば、累乗=35の場合を見ていきましょう。

3を5回掛けて3×3×3×3×3=243の結果を得ます。

この式を少しだけ変形すると

(3×3)×(3×3)×3

となります。さらに(3×3)をpowとおくと

pow×pow×3

となります。

powは(3×3)なので掛け算が1個、pow×pow×3は掛け算が3個です。

よって、powを計算した値で、pow×pow×3を計算すると掛け算4回で結果を得ることができます。

次に、累乗=39の場合を見ていきましょう。

(3×3×3×3)をpowとおくと

39=pow×pow×3

となります。

さらにpow'=3×3とおくと

pow=3×3×3×3=(3×3)×(3×3)=pow'×pow'

となり、powは掛け算2回で結果を得ることができます。

よって、pow×pow×3を計算すると掛け算4回で結果を得ることができます。

このように、指数(掛ける回数)を2分割して得られた結果どおしの掛け算を行い、掛け算の回数を減らしています。

Javaソースコード - 乗算の回数を取得

以下は、整数累乗を計算を行うために必要な掛け算の回数を表示するJavaソースコードです。参考にしてくだい。

PowerN.java

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public class PowerN {
	// aのn乗の掛け算の回数を戻すメソッド
	static int power_n( int a, int n )
	{
		// 結果の初期化
		int result = 0;

		// nが2以上の場合
		if ( 2 <= n ) {
			// nが1場の場合
			switch ( n ) {
				case 2:
					// n=2の場合、a*aを戻す
					result += 1;
					break;

				default:
					int pow_num = power_n( a, n / 2);
					result += pow_num;
					result += 1;
	
					// nが奇数の場合
					if ( 1 == ( n % 2 ) ) {
						result += 1;
					}
					break;
			}
		}

		return result;
	}


	// メイン
	public static void main( String[] args ) {
		// 変数の宣言
		int a, n;
		int ans;

		// べき乗の計算
		a = 3;
		n = 19;
		ans = power_n( a, n );

		// 結果表示
		System.out.println( a + "の" + n + "乗に使う掛け算の回数は、" + ans );
	}
}

実行

C:\talavax\javasample>java PowerN

出力結果

3の19乗に使う掛け算の回数は、6

指数(掛ける回数)に対して、実際に掛け算を行う回数が少なくなることが確認できます。

以上です。

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