・円周率πを求める その1
ここで紹介するアルゴリズムは、単位円を小さく分割した台形で近似し、それら台形の面積の合計で円周率πを求めるものです。
円の面積は、
（半径×半径×円周率)
で求められるので、単位円の面積は、
となります。よって、単位円の面積の計算は、円周率を計算することと同じことです。
ここからは、具体的な単位円の面積計算方法の説明です。
単位円の右上１／４を台形（一番上は三角形）に分割します。このとき台形の高さを全て同じにします。以下の例は、単位円の右上１／４を２つの台形に分割した例です。オレンジ色で塗りつぶされている部分が台形の範囲です。
以下の例は、単位円の右上１／４を４つの台形に分割した例です。
このオレンジ色で塗られた部分の面積を計算し、それを４倍した値を円周率πとします。
分割する数を増やすとオレンジ色で塗られた部分の形が、単位円に近づいていきます。そして、それは台形の面積の合計値が、単位円の１／４の面積に近づくことを意味しています。
以下は、円周率πを計算するJavaソースコードです。
CalcPI1.java ← クリックしてダウンロードページに移動
001: public class CalcPI1 {
002: // πを計算するメソッド
003: public static double getPI_1( int yn )
004: {
005: double upperbase; // 台形の上底
006: double lowerbase; // 台形の下底
007: double height; // 台形の高さ
008: double lowery; // 台形の下底の座標
009: double area; // 円の面積
010: double aread; // 台形の面積
011:
012: // 台形の高さ(円の半径をynで割る)
013: height = 1.0 / (double)yn;
014:
015: // 上底の初期値
016: upperbase = 0.0;
017:
018: // 下底のy座標の初期値
019: lowery = 1.0 - height;
020:
021: // 計算開始
022: area = 0.0;
023: for ( int i = 0; i < yn; ++ i ) {
024: // 下底の計算
025: lowerbase = Math.sqrt( 1.0 - lowery * lowery );
026:
027: // 台形の面積計算
028: aread = ( upperbase + lowerbase ) * height / 2.0;
029:
030: // 円の面積に台形の面積を足す
031: area += aread;
032:
033: // 下底を上底に代入
034: upperbase = lowerbase;
035:
036: // 下底のy座標からheightを引く
037: lowery -= height;
038: }
039:
040: // 1/4円の面積を4倍
041: area = area * 4.0;
042:
043: // 結果を戻す
044: return area;
045: }
046:
047:
048: public static void main( String[] args ) {
049: // yの分割数
050: int yn;
051:
052: // 1000分割
053: yn = 1000;
054: System.out.println( "分割数:" + yn+ " π=" + getPI_1( yn ) );
055:
056: // 10000分割
057: yn = 10000;
058: System.out.println( "分割数:" + yn+ " π=" + getPI_1( yn ) );
059:
060: // 100000分割
061: yn = 100000;
062: System.out.println( "分割数:" + yn+ " π=" + getPI_1( yn ) );
063:
064: // 1000000分割
065: yn = 1000000;
066: System.out.println( "分割数:" + yn+ " π=" + getPI_1( yn ) );
067:
068: // 10000000分割
069: yn = 10000000;
070: System.out.println( "分割数:" + yn+ " π=" + getPI_1( yn ) );
071: }
072: }
CalcPI1を実行
C:\talavax\javasample>java CalcPI1
CalcPI1.javaの出力結果
分割数:1000 π=3.1415554669110293 分割数:10000 π=3.1415914776112435 分割数:100000 π=3.141592616398606 分割数:1000000 π=3.1415926524339723 分割数:10000000 π=3.1415926531488605
分割数を大きくするとπの計算値が、実際のπの値に近づいています。
３．１４１５９２６５３５８９７９３２３８４６２・・・
です。分割数を1000000にすると小数点以下第９桁まで一致しました。
001: public class CalcPI1 {
クラス名を、CalcPI1としています。
002: // πを計算するメソッド 003: public static double getPI_1( int yn )
円周率πを計算するメソッドです。int型の変数ynは分割数で、計算する台形の個数を表します。
005: double upperbase; // 台形の上底 006: double lowerbase; // 台形の下底 007: double height; // 台形の高さ 008: double lowery; // 台形の下底の座標 009: double area; // 円の面積 010: double aread; // 台形の面積
計算に使用する変数を宣言しています。
012: // 台形の高さ(円の半径をynで割る) 013: height = 1.0 / (double)yn;
半径1.0を変数ynで割って台形の高さを計算し、double型の変数heightに代入しています。
015: // 上底の初期値 016: upperbase = 0.0;
最初に計算する台形の上底に0.0を代入しています。このプログラムでは、上から下に向けて台形の面積を計算していきます。
018: // 下底のy座標の初期値 019: lowery = 1.0 - height;
初期の下底のy座標を変数loweryに代入しています。上底のy座標は1.0なので、下底のy座標は1.0から高さheightを引いた値になります。
021: // 計算開始
022: area = 0.0;
023: for ( int i = 0; i < yn; ++ i ) {
ここから台形の面積を、指定した分割数yn回計算していきます。そして、変数areaに台形の面積を足して行きます。変数areaの初期値は0.0です。
024: // 下底の計算 025: lowerbase = Math.sqrt( 1.0 - lowery * lowery );
下底のy座標loweryから、下底を計算しています。
下底はy座標loweryを持つ単位円上のプラスのx座標になるので、12=lowery2+lowerbase2を満たすlowerbaseが下底となります。
027: // 台形の面積計算 028: aread = ( upperbase + lowerbase ) * height / 2.0;
上底と下底と高さで台形の面積を計算して変数areadに代入しています。
030: // 円の面積に台形の面積を足す 031: area += aread;
033: // 下底を上底に代入 034: upperbase = lowerbase;
下底を上底に代入しています。計算した台形の下底が、次に計算する台形の上底になるためです。
036: // 下底のy座標からheightを引く 037: lowery -= height;
下底はy座標loweryから高さheightを引いています。
040: // 1/4円の面積を4倍 041: area = area * 4.0;
for文を抜けると、変数areaには単位円の四分の一の面積が格納されています。変数areaに４を掛けて単位円全体の面積を求めます。
043: // 結果を戻す 044: return area;
return文で、単位円の面積areaを戻します。
048: public static void main( String[] args ) {
049: // yの分割数
050: int yn;
051:
052: // 1000分割
053: yn = 1000;
054: System.out.println( "分割数:" + yn+ " π=" + getPI_1( yn ) );
055:
056: // 10000分割
057: yn = 10000;
058: System.out.println( "分割数:" + yn+ " π=" + getPI_1( yn ) );
059:
060: // 100000分割
061: yn = 100000;
062: System.out.println( "分割数:" + yn+ " π=" + getPI_1( yn ) );
063:
064: // 1000000分割
065: yn = 1000000;
066: System.out.println( "分割数:" + yn+ " π=" + getPI_1( yn ) );
067:
068: // 10000000分割
069: yn = 10000000;
070: System.out.println( "分割数:" + yn+ " π=" + getPI_1( yn ) );
071: }
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