2019/05/23 公開
・ニュートン法で平方根 その2
ニュートン法は、関数f(x)が与えられたときf(x)=0となるxを数値計算の反復によって求めるアルゴリズムの１つです。その計算式は以下です。
ここでは、数値微分を使ったニュートン法で平方根を計算するプログラムを紹介します。
ニュートン法の式の中にf(x)をxで微分したf'(x)を含んでいますが、関数f(x)によってf'(x)を導くことが困難または不可能なことがあります。
そこで、微分の関数が分からなくてもf'(x)が計算できる数値微分を使い、ニュートン法の計算を行えるようにしました。
関数をf(x)=x2-aとし、f(x)=0となるxを求めることで、aの平方根を計算します。
この式は、以下の手順で導いています。
NewtonsMethod2.java ← クリックしてダウンロードページに移動
001: public class NewtonsMethod2 {
002: // f(x)=x^2-a
003: static double f( double x, double a )
004: {
005: return x * x - a;
006: }
007:
008:
009: // f(x)の微分f'(x) - 接線の傾き
010: // 微分の式が分からない場合、微分の近似値を計算
011: static double df_ex( double x, double a )
012: {
013: double h = 0.0000001;
014:
015: return ( f( x + h, a ) - f( x, a ) ) / h;
016: }
017:
018:
019: // ニュートン法 漸化式
020: static double newtons( double x, double a )
021: {
022: return x - f( x, a ) / df_ex( x, a );
023: }
024:
025:
026: // メイン
027: public static void main(String[] args) {
028: // 変数の宣言
029: double e = 0.000001; // 収束の判定値
030: double x; // 計算値を格納
031: double x_ans; // １つ前の計算値
032: double a; // 平行根を求める値
033:
034: // 平行根を求める値
035: a = 169.0; // 13×13
036:
037: // 初期値を代入
038: x_ans = 10000.0;
039:
040: // 無限ループ
041: for ( int i = 1; ; ++ i ) {
042: // ニュートン法で計算
043: x = newtons( x_ans, a );
044:
045: // 収束の判定
046: if ( e > Math.abs( x - x_ans ) ) break;
047:
048: // 最新の計算結果を次の計算結果に代入
049: x_ans = x;
050:
051: // 途中経過の表示
052: System.out.println( "回数:" + i + " 計算結果: " + x_ans );
053: }
054:
055: // 改行
056: System.out.println();
057:
058: // 結果の表示
059: System.out.println( "計算結果: " + x_ans );
060:
061: // 結果の絶対値
062: x_ans = Math.abs( x_ans );
063: System.out.println( a + "の絶対値: " + x_ans );
064:
065: // f(x)=0になるかを確認
066: System.out.println( "f(" + x_ans + ")=" + f( x_ans, a ) );
067: }
068: }
NewtonsMethod2を実行
C:\talavax\javasample>java NewtonsMethod2
169の平方根をニュートン法で計算してます。計算の途中経過と結果を表示しています。
NewtonsMethod2.javaの出力結果
回数:1 計算結果: 5000.055835163439 回数:2 計算結果: 2500.0405926789967 回数:3 計算結果: 1250.05263083155 回数:4 計算結果: 625.0944750620009 回数:5 計算結果: 312.682233554483 回数:6 計算結果: 156.6113993198339 回数:7 計算結果: 78.84524510893075 回数:8 計算結果: 40.494340546011806 回数:9 計算結果: 22.333882320006264 回数:10 計算結果: 14.950430379777575 回数:11 計算結果: 13.127226391861301 回数:12 計算結果: 13.000616525291765 回数:13 計算結果: 13.000000014619735 計算結果: 13.000000014619735 169.0の絶対値: 13.000000014619735 f(13.000000014619735)=3.8011310721230984E-7
001: public class NewtonsMethod2 {
002: // f(x)=x^2-a
003: static double f( double x, double a )
004: {
005: return x * x - a;
006: }
ニュートン法でf(x)=0を求めたい関数です。ここでは、f(x)=x2-aという関数を記述しています。平方根の元の値をaに代入します。
009: // f(x)の微分f'(x) - 接線の傾き
010: // 微分の式が分からない場合、微分の近似値を計算
011: static double df_ex( double x, double a )
012: {
013: double h = 0.0000001;
014:
015: return ( f( x + h, a ) - f( x, a ) ) / h;
016: }
f(x)の微分式f'(x)を数値微分で行うメソッドです。xが0.0000001増加したときの、yの増加分を計算しています。f'(x)は(yの増加分／xの増加分)なので、その値をreturn文で戻しています。ここでは、xの増加分を0.0000001としていますが関数f(x)によって変更する必要があります。いろいろな値で試してください。
019: // ニュートン法 漸化式
020: static double newtons( double x, double a )
021: {
022: return x - f( x, a ) / df_ex( x, a );
023: }
026: // メイン
027: public static void main(String[] args) {
このmainメソッドからプログラムを実行します。
028: // 変数の宣言 029: double e = 0.000001; // 収束の判定値 030: double x; // 計算値を格納 031: double x_ans; // １つ前の計算値 032: double a; // 平行根を求める値
このプログラムで使う変数を宣言しています。double型の変数eは、漸化式を終了させるための値で、計算したxn+1とxnの絶対値の差がe未満になったときに計算を終了させます。
034: // 平行根を求める値 035: a = 169.0; // 13×13
ここでは169.0を変数aに代入しています。これにより、ニュートン法で収束させた値が169.0の平方根である13.0になることが期待できます。
037: // 初期値を代入 038: x_ans = 10000.0;
計算の初期値に10000.0を代入しています。この値は任意です。
040: // 無限ループ
041: for ( int i = 1; ; ++ i ) {
for文で無限ループを作っています。int型の変数iを1からインクリメント(１を足す)しています、終了条件を記述していないので無限ループになります。
042: // ニュートン法で計算 043: x = newtons( x_ans, a );
ニュートン法の漸化式にx_ansとaを渡して、次のxの値を取得しています。
045: // 収束の判定 046: if ( e > Math.abs( x - x_ans ) ) break;
計算した値xと、計算に使った値x_ansの差の絶対値を計算し、その値がeより小さければ計算が収束したと判断し、break文でfor文を抜けます。
048: // 最新の計算結果を次の計算結果に代入 049: x_ans = x;
x_ansにxを代入しています。
055: // 改行 056: System.out.println(); 057: 058: // 結果の表示 059: System.out.println( "計算結果: " + x_ans );
ニュートン法で求めた結果x_ansをコンソールに出力しています。
061: // 結果の絶対値 062: x_ans = Math.abs( x_ans ); 063: System.out.println( a + "の絶対値: " + x_ans );
計算結果x_ansの絶対値をとった値をコンソールに出力しています。これが、実際に求めたい平方根の値になります。このプログラムの場合、f(x)=x2-169.0を0.0にするxを求めるようにしてるため、xの値が13.0と-13.0の２つの値のどちらでもf(x)=0を満たすことが出来ます。これは初期値によりプラスとマイナスのどちらかの値をとります。例えば初期値を-10000.0にするとx_ans=-13になります。
065: // f(x)=0になるかを確認
066: System.out.println( "f(" + x_ans + ")=" + f( x_ans, a ) );
計算結果x_ansをメソッドfに代入して、その結果が0になっているか確認するための出力です。この例では、結果の表示が指数表記になっていて、数値の後に'E-7'が付いています。これは10の-7乗を意味しています。この結果から求めたx_ansでメソッドfが戻す値は0に近く、x_ansはaの平方根であることが確認できます。
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