ゆるゆるプログラミング

ニュートン法、またはニュートン・ラフソン法）は、関数f(x)が与えられたときf(x)=0となるxを数値計算の反復によって求めるアルゴリズムの１つです。

それでは、ニュートン法の考え方を説明します。

はじめに、f(x)=0となるxと予想値x₀（任意）を決めて、その値x₀でf(x₀)の接線を求めます。

次に、接線とx軸の交点の座標(x₁,0)を計算し、f(x₁)の接線を求めます。

さらに、接線とx軸の交点の座標(x₂,0)を計算し、f(x₂)の接線を求めます。

以後、接線とx軸の交点を繰り返し計算し、交点のx座標x_nの値が変化しなくなれば（収束）、そのx座標x_nが求めるxとなります。ただし、関数f(x)=0となるxが存在しない場合は、正しいxは求められません。また、関数f(x)=0となるxが複数存在する場合は、初期値x₀の値にって求まるxが変わります。

上の図は、接線とx軸の交点を繰り返し計算していく様子を示しています。計算した値が、求めたいxに近づいている様子が確認できます。

f'(x)はf(x)をxで微分したものでf(x)の傾きを表しています。

ここから、ニュートン法を実現するための式について説明していきます。

f(x_n)をx_nで微分すると、x_nの接線の傾きf'(x_n)を求めることができます。その傾きf'(x_n)をxの増加分⊿x、yの増加分⊿yを使って以下のようにおくと、

この接線とx軸との交点は、

で求められます。（下図）

接線の傾きf'(x_n)を⊿y／⊿xとおくと、x_n+1は、x_nからf(x_n)×(⊿x／⊿y)を引いた値になります。

最後に、⊿xと⊿yをf'(x_n)に置き換えてニュートン法の漸化式にします。